MATHEMATICAL OLYMPIAD ARCHIVE

JMO 2024
問題 2

DIFFICULTY2

PROBLEM WORKSPACE

ヒント

PUBLIC

ヒント 1

$m\mid f(m)$ を示しましょう．

ヒント 2

$m=1,n=f(1)$ から $f(1)=1$ を示しましょう．

略解を表示

任意の正整数 $m$ に対して $f(m)+n$ と $m$ が互いに素な $n$ が取れ，これを代入することで $m\mid f(m)$ がわかる．

$f(1)=c$ とし， $m=1,n=c$ を代入すれば

f(f(c)+1)=2c

がわかる． $f(f(c)+1)\neq f(c)+1$ と仮定すると $m\mid f(m)$ より

2c=f(f(c)+1)\geq 2(f(c)+1)\geq 2(c+1)

が従い矛盾する．よって $f(f(c)+1)=f(c)+1$ であり， $f(c)=2c-1$ を得る．これと $c\mid f(c)$ より $c=1$ である．

与式に $m=1$ を代入すれば

f(f(n)+1)=n+1

これと $m\mid f(m)$ より $f(n)=n$ が必要である．

$f(n)=n$ は与式を満たすのでこれが求める解である．