JMO 2023
問題 3

$a_i\leq a_n+c$ なる $i$ の個数は $n$ について広義単調増加なので数列 $a_1,a_2,\dots$ は狭義単調増加，狭義単調減少，定数列のいずれかであるが，問題文の条件を満たしうるのは狭義単調増加なときのみである．よって問題文の条件は任意の正整数 $n$ に対して以下の不等式が成り立つことと同値である．

$$a_{a_n}\leq a_{n+1}+c\leq a_{a_n+1}-1$$

広義単調増加な非負整数列 $b_1,b_2,\dots$ を用いて $a_n=n+b_n$ と表すと不等式は

$$b_{n}+b_{a_n}\leq b_{n+1}+c+1\leq b_{n}+b_{a_n+1}$$

と書き換えられる．$a_1\neq 1$ より $a_n\geq n+b_n\geq=n+1$ であることに注意すれば

$$b_n\leq c+1,\quad c+1\leq b_{a_n+1}$$

を得る．左の不等式において $n$ を $a_n+1$ に置き換えた不等式と右の不等式から $b_{a_n+1}=c+1$ が従うので $b_{n+1}\leq b_n$ である．以上より $b_n$ は $c+1$ で定数であり，$a_n=n+c+1$ が従う．