JMO 2022
問題 2

$f$ は単射である．$m=n$ とすることで

$$f(n)^2=f^{f(n)}(n)+n^2\gt n^2$$

となり，$f(n)\geq n+1$ が従う．ここで与式と $m,n$ を入れ替えた式から

$$f^{f(n)}(m)=f^{f(m)}(n)$$

を得る．$f(1),f(2),\dots$ の最小値を $c$ とし，$f(a)=c$ なる $a$ をとると，$f$ の単射性より $n\neq a$ なる $n$ に対して

$$f^{f(n)-c-1}(c)=n$$

が成り立つ．これと $f(n)\geq n+1$ より $f(n)\leq n+1$ を得るので，$f(n)\geq n+1$ と合わせて

$$f(n)=n+1$$

である．よって $1+a\leq f(a)\leq f(1)=2$ より $a=1,f(1)=2$ である．以上より $f(n)=n+1$ でありこれは与式を満たす．