JMO 2021
問題 3

直線 $QE,QD$ と三角形 $ABC$ のが外接円の交点のうち $Q$ でない方をそれぞれ $X,Y$ とするとパスカルの定理より線分 $BX,CY$ は線分 $DE$ 上で交わる．この点を $P^\prime$ とすれば $\angle BP^\prime C=\angle BAC+\angle EQD$ が成り立つので $P^\prime=P$ すなわち $BP^\prime:P^\prime C=EQ:QD$ を示せば良い．

三角形 $BCP^\prime$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $P^\prime$ でない方を $R$ とすると $B,D,R,Q$ は共円であり，同様に $C,E,R,Q$ も共円である．よって $BD=CE$ と正弦定理から

$$\sin\angle RDQ:\sin\angle DRB=\sin\angle REQ:\sin\angle ERC$$

が成り立つので，

$$EQ:QD=\sin\angle DRB:\sin\angle ERC=\sin\angle P^\prime CB:\sin\angle P^\prime BC=BP^\prime:P^\prime C$$

が従う．よって示された．