JMO 2021
問題 1

$m=n$ を考えることで $f(n)\mid n$ を得るので題意は以下のようになる

$$n\mid m\iff f(n)\mid f(m)$$

$f(a)=f(b)$ のとき $a\mid b$ かつ $b\mid a$ なので $a=b$ であり，$f$ が単射であることが従う．これと$f(n)\mid n$ から従う $f(n)\leq n$ より $f(n)=n$ が帰納的に従い，これは題意を満たす．