JMO 2020
問題 3

$f(n)\lt n$ なる $n$ が存在すると仮定すると，与式において $m=f(n)$ とすることで

$$0\lt n^2-f(n)^2\leq f(n)^2-f^2(n)^2$$

が得られるので $n^2,f(n)^2,f^2(n)^2,\dots$ は狭義単調減少な整数列となるが，これはとくに正整数列であることに矛盾する．したがって $f(n)\geq n$ である．

$f(n)\gt n$ なる $n$ が存在すると仮定すると $f(n)+n\lt f^2(n)+f(n)$ および

$$(f(n)+n)(f(n)-n)\geq (f^2(n)+f(n))(f^2(n)-f(n))$$

から $f(n)-n\gt f^2(n)-f(n)$ がわかる．これを繰り返すことで $f(N)=N$ なる $N$ の存在が言える． この $N$ から，$m=N-1,n=N$ とすることで

$$(N-1)^2+1\geq f(N-1)^2\geq (N-1)^2$$

がわかるので $f(N-1)=N-1$ が従い，同様に $f(N+1)=N+1$ がわかるので，これを繰り返すと $f(n)\gt n$ なる $n$ が存在することに矛盾し，結局 $f(n)=n$ が必要である．これは与式を満たす．