JMO 2019
問題 3

$y=x$ とすることで $f(x+2)=f(x)+f(2)$ が得られる．

相異なる正の実数 $a\lt b$ が $f(a)=f(b)$ を満たすとき，$y=a,b$ とした $2$ 式を比較することで任意の正の実数 $x$ に対して

$$f\left(x+\dfrac{a}{x}+1\right)=f\left(x+\dfrac{b}{x}+1\right)$$

が成り立つが，$a\neq b$ より $\dfrac{b}{x}-\dfrac{a}{x}=2$ なる $x$ を取ることができ，これを代入することで $0=f(2)\gt 0$ が従い矛盾する．したがって $f$ は単射である．

与式において $y$ を $y+2x$ とすることで

$$f\left(\dfrac{f(y+2x)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\dfrac{y}{x}+3\right)+f(x)=f\left(x+\dfrac{y}{x}+1\right)+f(2)+f(x)=f\left(\dfrac{f(y)}{f(x)}+3\right)$$

がわかるので $f$ の単射性と合わせて $f(y+2x)=f(y)+2x$ を得る．$2x$ を $x$ におきかえ，$y=2$ とすることで

$$f(2)+x=f(2+x)=f(x)+f(2)$$

を得るので，求める関数は $f(x)$ であり，これは与式を満たす．