JMO 2018
問題 3

$f$ は全単射なので複数のループに分割できる．

長さが $k$ であるループ $(n,f(n),\ldots,f^{k-1}(n))$ をとり，$k$ はある奇数の素因数$p$を持つとする．このとき，$l=0,1,\dots,k-1$ に対して $p\mid f^l(n)+f^{l+1}(n)+1$ かつ $p\mid f^l(n)f^{l+1}(n)$ が成り立つので $f$ は $\pmod{p}$ で周期 $2$ であり，$2\mid k$ が必要である．

すなわちループ長としてありうる値は偶数または $1$ であり，$|S|=999$ が奇数であることを合わせればループ長 $1$ のループが存在すること，すなわち $f(a)=a$ なる $a$ の存在が従う．