JMO 2017
問題 1

正の整数 $a,b,c$ が $\text{lcm}(a,b)=\text{lcm}(a+c,b+c)$ を満たすとして矛盾を示す．

$p$ を素数として，$\gcd(a,b)$ が $p$ でちょうど $k$ 回割り切れるとする．このとき，$p^k\mid \text{lcm}(a+c,b+c)$ より $p^k\mid c$ となる必要がある．すなわち $c$ は $\gcd(a,b)$ の倍数であるので，互いに素な正整数 $\alpha,\beta$ および正整数 $\gamma,d$ を用いて

$$a=d\alpha,\quad b=d\beta,\quad c=d\gamma$$

とかけ，等式は $\text{lcm}(a,b)=\text{lcm}(a+c,b+c)$ は以下のように言い換えられる．

$$\alpha\beta=\text{lcm}(\alpha+\gamma,\beta+\gamma)$$

ある素数 $p$ が存在して $p\mid \alpha+\gamma,p\mid \beta+\gamma$ が成り立つと仮定すると $p\mid \alpha\beta,p\mid \alpha-\beta$ より $p\mid \alpha,p\mid \beta$ が従うが，これは $\alpha,\beta$ が互いに素であることに矛盾する．よって $\alpha+\gamma,\beta+\gamma$ は互いに素であるがこのとき

$$\alpha\beta=(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma)$$

となり，明らかにこれは矛盾する．以上より示された．