JMO 2015
問題 4

内接円と線分 $BC$ の接点を $F$ とし，線分 $DF,EF$ の中点をそれぞれ $M,N$ とする．内接円で反転すると $\Gamma$ は三角形 $DEF$ の九点円（ $\gamma$ とおく）に移り，$P$ は $\gamma$ と線分 $ME$ の交点のうち $M$ でない方，$Q$ は $\gamma$ と線分 $ND$ の交点のうち $N$ でない方に移る．$MN\parallel DE$ より $4$ 点 $D,E,P^\prime,Q^\prime$ は共円である．よって示された．