JMO 2015
問題 3

(1)
数列 $\{b_n\}$ を $b_n=a_{n+1}-a_n$ によって定め，$n=c$ のときに最小値 $b_c=d$ を取るとする．
このとき $b_{2c}+b_{2c+1}=a_{2c+2}-a_{2c}=2b_c=2d$ より $b_{2c}=b_{2c+1}=d$ を得る．これを繰り返せば $b_{x}=b_{x+1}=\dots=b_{x+p-1}=d$ なる $x$ の存在が言え，この $x$ を用いれば

が成り立つ．$d=a_1\lt p$ より $d,p$ は互いに素なので $a_{x},a_{x+1},\dots,a_{x+p-1}$ のいずれかは $p$ の倍数である．よって示された．

(2)
$a_1=p+1,a_{2n}=2a_n,a_{2n+1}=2a_n+p$ で定めればこの数列は $a_n\lt a_{n+1}$ かつ $p\nmid a_n$ が成り立つ．