JMO 2015
問題 1

$n=1$ は条件を満たさないので以下では $n\geq 1$ とする．$n+1,n^2+1$ の偶奇は一致するが，ともに奇数であるとき，$n^3+n^2+n+1=(n+1)(n^2+1)$ より $n+1,n^2+1$ はともに $1$ でない $5$ べきであるが， $\gcd(n+1,n^2+1)=\gcd(n+1,2)$ よりこれは矛盾する．よって $n+1,n^2+1$ はともに偶数である．$n^2+1$ が $4$ で割り切れないことに注意すれば，ある整数 $a,b$ が存在して以下が成り立つ．

$$n+1=2^a,\quad n^2+1=2\cdot 5^b$$

この $2$ 式から $n$ を消去して整理すれば

$$5^b-1=2^a(2^{a-1}-1)$$

が得られ，これとLTEの補題から $v_{2}(b)=a-2$ が得られるので，

$$2^a(2^{a-1}-1)\geq 5^{2^{a-2}}-1$$

である．従って $a=2,3$ であり，実際に $n=3,7$ は条件を満たす．