JMO 2014
問題 4

直線 $DH,EI$ は直線 $BC$ 上で交わるのでこの点を $X$ とする．このとき

$$\angle HAB=\angle ACB=\angle HXB$$

より方べきの定理から

$$HD\cdot DX=AD\cdot DB=FD\cdot DG$$

が成り立つ．よって $H$ は三角形 $FGX$ の外接円上にあり，$I$ も同様である．また，この円は $\angle IHX=\angle IXC$ より直線 $BC$ に接する．