JMO 2014
問題 2

$a,c\geq 3$ のとき $3^b+1\equiv 0\pmod{8}$ だがこれを満たす $b$ は存在しないので，$a,c$ のいずれかは $2$ 以下である．

$c\geq 3$ のとき $a\leq 2$ だが，$2^a+1\equiv 0\pmod{3}$ より $a=1$ であり，このとき

$$3^b+3=6^c\equiv 0\pmod{9}$$

より $b=1$ が必要だが，このとき適する $c$ は存在しない．

$c=1,2$ のとき $2^a+3^b+1=6$ または $2^a+3^b+1=36$ を満たす組 $(a,b)$ を求めればよい．

以上より求める組は $(a,b,c)=(1,1,1),(5,1,2),(3,3,2)$．