JMO 2014
問題 1

三角形 $ABC$ の外接円の $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$，線分 $OA,BC$ の中点をそれぞれ $N,L$ とする．直線 $BC$ に関して $O$ と対称な点を $O^\prime$ とすると中点連結定理から $LN\parallel O^\prime A$．これと $LN\perp AM$ より $\angle O^\prime AM=90^\circ$ である．よって線分 $O^\prime M$ は三角形 $ABC$ の直径をなす．これと直線 $BC$ が線分 $OO^\prime$ の垂直二等分線であることから $\angle BAC=120^\circ$ を得る．