JMO 2013
問題 4

線分 $AS$ が三角形 $ABC$ の直径をなすように点 $S$ をとり，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AH$ を直径とする円の交点のうち $A$ でない方を $T$ とすると $S,H,T$ は同一直線上にあり，この直線上に線分 $BC$ の中点 $M$ も存在する．根心を考えることで $3$ 直線 $AT,XY,BC$ は $1$ 点 $U$ で交わる．$4$ 点 $H,D,U,T$ は同一直線上にあるので

$$MB^2=MB\cdot MC=MS\cdot MT=MH\cdot MT=MD\cdot MU$$

が成り立ち，$(B,C;D,U)=1$ が従う．これと $\angle DKU=90^\circ$ より $\angle BKD=\angle CKD$ が成り立つ．