JMO 2013
問題 2

$m=1$を代入することで任意の奇数$M$に対して$f(M)=f(1)$がわかる．次に$m=M,n=2^k$とすることで$f(2^k\cdot M)=f(2^k)$を得る．よって$m=2^k,n=2 ~ (k\geq 2)$を代入することで $f(2^{k+1})=f(2^k)$を得る．これと$m=n=2$の代入により$f(2^k)=f(2) ~ (k\geq 1)$がわかる．

以上より$a,b$を実数として$n$が偶数ならば$f(n)=a$，奇数ならば$f(n)=b$であり，これは題意を満たす．