JMO 2013
問題 1

以下を $k$ についての帰納法で示す．

「 $k$ 個の正整数 $x_1,x_2,\dots,x_k$ に対して $\sum_{i=1}^ka_ix_i=(\sum_{i=1}^kx_i)^2$ を満たす正整数 $a_1\gt a_2\gt \cdots \gt a_k$ が存在する．」

$k=1$ のときは明らかである．$k=m$ で成り立つと仮定すると，$x_1,x_2,\dots,x_{k+1}$ が与えられたとき，$\sum_{i=1}^kb_ix_i=(\sum_{i=1}^kx_i)^2$ を満たす正整数 $b_1\gt b_2\gt \cdots \gt b_k$ が存在し，$a_i=b_i+2x_{k+1} ~ (i=1,2,\dots,k), ~ a_{k+1}=x_{k+1}$ と定めれば

$$\sum_{i=1}^{k+1}a_ix_i=\sum_{i=1}^k(b_i+2x_{k+1})x_i+x_{k+1}^2=\left(\sum_{i=1}^kx_i\right)^2+2x_{k+1}\sum_{i=1}^kx_i+x_{k+1}^2=\left(\sum_{i=1}^{k+1}x_i\right)^2$$

および $a_1\gt a_2\gt \cdots a_{k+1}$ より $k=m+1$ でも成り立つ．

以上より任意の $k$ に対して冒頭の命題が成り立つので題意は満たされた．