JMO 2012
問題 3

$x=p+1$ を考えて二項定理を用いれば $p\mid n$ が必要である．$n=mp$ と表せば $p\mid x^n-1$ のときフェルマーの小定理より $p\mid x^m-1$ であり，$p\mid (x^{m(p-1)}+x^{m(p-2)}+\cdots+x^{m\cdot 0})$ も従うので，$x^{n}-1=(x^m-1)(x^{m(p-1)}+x^{m(p-2)}+\cdots+x^{m\cdot 0})$ は $p^2$ で割り切れる．以上より，求める $n$ は $p$ の倍数全てである．