JMO 2012
問題 2

与式と $y\to -y$ とした式を比較することで $yf(-y)=-yf(y)$ がわかる．また，$x=y=0$ を代入することで $f(f(0)^2)=0$ がわかる．次に $x=y+f(0)^2$ とすることで

を得る．$y\to -y$ とすることで $(y+f(0)^2)^2=(-y+f(0)^2)^2$ が任意の $y$ について成り立つので $f(0)^2=0$ である．

以上より $f(x)=x$ であり，これは与式を満たす．