JMO 2011
問題 2

$a=1$ のとき $n,p,q,r$ は任意である．以下，$a\geq 2$ とし，対称性を失わず $p\geq q\geq r$ とする．与式を展開することで

$$a^{n}=a^{p+q+r}-a^{p+q}-a^{q+r}-a^{r+p}+a^p+a^q+a^r$$

が得られる．$n\geq p\geq q\geq r$ に注意すれば $q=r$ が必要であり，このとき上の等式は

$$a^{n-q}=a^{p+q}-2a^{p}-a^{q}+a^{p-q}+2$$

となる．

• $p\gt q$ のとき
  $a\mid 2$ より $a=2$ が従う．このとき

  $$2^{n-q-1}=a^{p+q-1}-2^{p}-2^{q-1}+2^{p-q-1}+1$$

  なので $q=1$ または $p=q+1$ が必要である．$q=1$ のとき $n=p$ であり，$p=q+1,q\neq 1$ のときは $q,q+1$ が $n$ を割り切るので

  $$2^{q(q+1)}-1\leq 2^n-1=(2^{q+1}-1)(2^q-1)^2\leq 2^{3q+1}-1$$

  より $q(q+1)\leq 3q+1$ より $q=2,p=3$ が必要であるがこのとき条件を満たす $n$ は存在しない．

• $p=q$ のとき

  $$a^{n-p}=a^{2p}-3a^p+3$$

  より $n=p$ ならば $a^p=2$ より $(a,n,p,q,r)=(2,1,1,1,1)$ である．$n\gt p$ ならば $a=3$ であり，$3^{n-p-1}=3^{2p-1}-3^p+1$ となる．$3^{n-p-1}-1$ は $3^p$ で割り切れるので $n=p+1=2$ が成り立つ．すなわち $(a,n,p,q,r)=(3,2,1,1,1)$ である．

以上より条件を満たす組は

$$(a,n,p,q,r)=(1,n,p,q,r),(n,2,n,1,1),(3,2,1,1,1)$$

および$p,q,r$ を入れ替えた組である．