IMO 2024
問題 1

$\alpha$ が条件を満たすことと $\alpha+2$ が条件を満たすことは同値である．$\alpha=0$ は明らかに条件を満たすので $0\leq \alpha\lt 2$ のみを考えればよい．

$0\lt \alpha\lt 1$ のとき，$\lfloor m\alpha\rfloor=1$ なる整数 $m\geq 2$ が存在し，そのような $m$ の最小値を $n$ とすれば $\lfloor \alpha\rfloor+\lfloor 2\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor m\alpha\rfloor=1$ は $m$ の倍数でない．

$1\leq \alpha\lt 2$ のとき，任意の正整数 $n$ について $n\leq \lfloor n\alpha\rfloor \lt 2n$ に気をつければ帰納的に $\lfloor n\alpha\rfloor =2n-1$ がわかる．よって $2-\dfrac{1}{n}\leq\alpha\lt 2$ であるが，$n$ を十分大きく取れば矛盾する．

以上より条件を満たす $\alpha$ は偶数のみ．