IMO 2019
問題 4

$$k!=2^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{i=1}^{n}(2^i-1) \tag{1}$$

より，これが $2,3$ で割り切れる回数はそれぞれ以下のように評価できる．

$$k\gt v_2(k!)=\dfrac{n(n-1)}{2}$$ $$\dfrac{k}{3}\leq v_3(k!)=\sum_{i=1}^nv_3(2^i-1)=\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}(1+v_3(i))\leq \dfrac{n}{2}\left(1+\log_3 \dfrac{n}{2}\right)$$

これらから $\dfrac{n-4}{3}\leq \log_3\dfrac{n}{2}$ が従うので，$n\leq 8$ が必要である．$5\leq n\leq 8$ のとき $k\lt 31$ なので $(1)$ の右辺は $31$ の倍数だが右辺は $31$ の倍数となり不適．よって $n=1,2,3,4$ を調べればよく，$(k,n)=(1,1),(3,2)$ が適する．