IMO 2017
問題 1

問題文の条件を満たす $a_0$ を良い数とする．$3$ の倍数でない正の整数を小さい順に並べた数列を$b_1=1,b_2=2,b_3=4,b_4=5,\ldots$ とし，ある $n\geq 3$ が存在して $a_0=b_n$ が良い数と仮定すると，数列 $a_i$ が単調増加でないために $b_n$ は $3$ で割って $1$ 余る必要があり，このとき，$b_n+3k=b_m^2$ を満たす正整数 $m$ と非負整数 $k$ の組 $(m,k)$ が取れ，このような組のうち $k$ が $m$ が最小となるものを取れば

が成り立ち，さらに数列 $a_i$ に $b_m$ が現れる．$n\geq 3$ より $m\geq 2$ なので $m\lt n$ が成り立ち，この議論を繰り返せば $b_1,b_2$ のいずれかが良い数であることが従うがこれは矛盾する．よって各 $b_i$ は良い数でない．

同様の議論を考えれば，$3$ が良い数であることから $3$ の倍数が全て良い数であることが導かれる．以上より求める $a_0$ は $3$ の倍数．