IMO 2016
問題 4

$$a+1\equiv 3\pmod{13},\quad a+2\equiv 1\pmod{3},\quad a+3\equiv 7\pmod{19},\quad a+4\equiv 2\pmod{7}$$

を満たすようにとれば

$$13\mid P(a+1),P(a+7),\quad 3\mid P(a+2),P(a+5),\quad 19\mid P(a+3),P(a+7),\quad 7\mid P(a+4),P(a+6)$$

が成り立つので $b=7$ が実現できる．これが最小値であることを示そう．

$b\leq 6$ なる構成があるとき，任意の整数 $1\leq i\leq b$ に対して

$$p\mid P(i),P(j)$$

なる $p$ と $1\leq j\leq b ~ (i\neq j)$ が存在する．$p\gt 5$ とすると $j\equiv -i-1\pmod{p}$ である必要があるので

$$2i+1\equiv i-j\pmod{p}$$

であり，$b\leq 6$ より $|i-j|=1,2,3,4,5$ であることと合わせれば

$$4P(i)=(2i+1)^2+3\equiv 12,28,52,84,124\pmod{p}$$

である．よって $p=7,13,31$ だが，$p=31$ は不適である．

また，$P(n)$ は $2,5$ の倍数になり得ないので，$P(i),P(j)$ が共通してもつ素因数としてありうるのは $3,7,13$ のみであるが，これを用いた構成は不可能である．