MATHEMATICAL OLYMPIAD ARCHIVE

IMO 2014
問題 1

DIFFICULTY1

PROBLEM WORKSPACE

ヒント

PUBLIC

ヒント 1

$b_n=na_n-(a_0+a_1+\dots+a_n)$ としてみましょう．

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数列 $\{b_n\}_{n=1,2,\ldots}$ を $b_n=na_n-(a_0+a_1+\dots+a_n)$ によって定めると $b_1=-a_1\lt 0$ および

b_{n+1}-b_n=n(a_{n+1}-a_n)\gt 0

より $b_n\lt 0\leq b_{n+1}$ を満たす $n$ がただ一つ存在する．これは問題文の不等式と同値であるので示された．