IMO 2013
問題 1

$k$ に関する帰納法で示す．$k=1$ のときは明らかである．$k$ で成り立つことを仮定すると

$$1+\dfrac{2^{k+1}-1}{2n}=\left(1+\dfrac{2^{k}-1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2^{k+1}+2n-2}\right)$$ $$1+\dfrac{2^{k+1}-1}{2n-1}=\left(1+\dfrac{2^{k}-1}{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{2n-1}\right)$$

より $k+1$ でも成り立つ．