IMO 2012
問題 4

$(a,b,c)=(0,0,0),(n,-n,0)$ の代入から $f(0)=0$ と $f(-n)=f(n)$ を得る．以下，$f(1)=m$ とする．$(a,b,c)=(1,n,-n-1)$ の代入から

$$f(n+1)=m+f(n)\pm2\sqrt{mf(n)}\tag{1}$$

を得る．$m=0$ のとき帰納的に $f(n)=0$ である．以下，$m\neq 0$ とする．式 $(1)$ に $n=1$ を代入して $f(2)=0,4m$ を得る．

• $f(2)=0$ のとき
  与式に $(a,b,c)=(n,2,-n-2)$ を代入して $f(n+2)=f(n)$ を得るので帰納的に $$f(2n-1)=m,\quad f(2n)=0$$ が従い，これは与式を満たす．
• $f(2)=4m$のとき
  式 $(1)$ から $f(3)=m,9m$ である．
  • $f(3)=m$ のとき
    式 $(1)$ より $f(4)=0,4m$ であり，$(a,b,c)=(2,2,-4)$ の代入から $f(4)=0,16m$ を得るので，$f(4)=0$ となる他ない．よって $(a,b,c)=(n,4,-n-4)$ の代入から $f(n+4)=f(n)$ が従う．よって帰納的に $$f(4n-3)=m,\quad f(4n-2)=4m,\quad f(4n-1)=m,\quad f(4n)=0$$ が従い，これは与式を満たす．
  • $f(3)=9m$ のとき
    $(a,b,c)=(n-1,2,-n-1)$ の代入と式 $(1)$ より $$f(n+1)=f(n-1)+4m\pm 4\sqrt{mf(n-1)}$$ $$f(n+1)=f(n)+m\pm 2\sqrt{mf(n)}$$ が成り立つので，帰納的に $f(n)=mn^2$ が成り立ち，これは与式を満たす．

以上より求める $f$ は $m$ を整数として以下のいずれかの形で表される関数である．

$$f(n)=mn^2,\quad f(n)=\begin{cases}0 ~ (n\equiv 0\mod {2})\\ m ~ (n\equiv 0\mod {2}) \end{cases},\quad f(n)=\begin{cases}0 ~ (n\equiv 0\mod {4})\\ m ~ (n\equiv 1,3\mod {4})\\4m ~ (n\equiv 2\mod {4}) \end{cases}$$