IMO 2011
問題 1

一般性を失わず $a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4$ とすると $a_2+a_4,a_3+a_4$ は $s_A$ を割り切らないので $n_A\leq 4$ である．$n_A=4$ なる $A$ を求めよう．以下の条件を満たす $a_1\lt a_2\lt a_3\lt a_4$ を求めれば良い．

$a_1\lt a_2\lt \dfrac{k}{2}$ より

なので $k-(a_2-a_1)=\dfrac{2k}{3}$ である必要がある．したがって $a_2=a_1+\dfrac{k}{3}$ なので $2a_1+\dfrac{k}{3}\mid 2k$ であり，これと

$2a_1+\dfrac{k}{3}=\dfrac{2k}{3},\dfrac{k}{2},\dfrac{2k}{5}$ である．よって組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ は $\left(\dfrac{k}{12},\dfrac{5k}{12},\dfrac{7k}{12},\dfrac{11k}{12}\right),\left(\dfrac{k}{30},\dfrac{11k}{30},\dfrac{19k}{30},\dfrac{29k}{30}\right)$ と表される．

以上より求める集合 $A$ は以下の通り．