EGMO 2024
問題 3

任意の素数 $p$ について，$p$ で割り切れる奇妙な正整数が高々 $3$ つであることを示せばよい．

奇妙な正整数 $A$ であって，合成数であるものをとり，$A$ の最小の素因数 $p$ をとると，$A=pq$ なる正整数 $q$ が存在し，

$$\dfrac{n(n+1)}{q(q+1)}=\dfrac{p(pq+1)}{q+1}=p^2-\dfrac{p(p-1)}{q+1}$$

は整数となる．$q$ が合成数と仮定すると $p$ の最小性より $q\geq p^2$ が成り立つので $\dfrac{p(p-1)}{q+1}$ は整数になり得ない．よって $q$ は素数であり，素数の組 $(p,q)$ は以下の式を全て満たす．

$$p+1\mid q(q-1),\quad q+1\mid p(p-1),\quad p\lt q$$

$p+1=q$ のとき $p=2,q=3$ より $A=6$ であるがこれは奇妙な整数でなく不適である．よって $p+1\lt q$ であり，特に $p+1\nmid q$ である．よって $p+1\mid q-1$ である．一方で $q+1$ が $p$ の倍数でないとき $q+1\mid p-1$ が従うが，これは $p+1\lt q$ に矛盾する．よって $q+1=kp$ なる正整数 $k$ が存在する．従って

$$p+1\mid q-1,\quad q-1=kp-2=k(p+1)-(k+2)$$

より $p+1\mid k+2$ であるので，$k\mid p-1$ と合わせれば $k=p-1$ が従う．よって奇妙な正の合成数は $p^2-p-1$ が素数となるような素数 $p$ を用いて

$$p(p^2-p-1)$$

と表される．また，$1$ および任意の素数は奇妙な整数である．以上より任意の素数 $p$ に対して，$p$ で割り切れる奇妙な正整数は高々 $3$ つなので，題意は示された．