EGMO 2024
問題 1

対称性を失わず $u\lt v$ とする．黒板に正の整数が書かれていないとき新たに書き加えられる数は正の整数でないので，$v\gt 0$ が必要である．また，$u=0$ のときは $0,v$ 以外の数が書き加えられないので $v\neq 0$ が必要である．また，$(u,v)=(-1,1)$ が不適であることもわかる．

逆に $(u,v)\neq (-1,1),u\gt 0,v\neq 0$ のとき全ての整数を書くことができることを示そう．まず，操作 $(i)$ によって $u+v$ を書いたのちに操作 $(ii)$ によって方程式 $ux^2+(u+v)x+v=0$ の解 $x=-1$ を書き加えることができる．また，これより $0$ も書けることがわかる．

• $v\neq 1$ のとき
  $v\geq 2$ と $-1$ を操作 $(i)$ に繰り返し使うことで $1,2$ が黒板に書かれた状態にできるので，ここから操作 $(i)$ を繰り返すことで全ての正整数を書くことができる．$-1$ 以外の任意の非負整数 $n$ は方程式 $$0\cdot x^2+1\cdot x+(-n)=0$$ の解として書き加えることができる．
• $v=1$ のとき
  $u\leq -2$ より，$0,1,u$ に対して操作 $(ii)$ を行うことで，$-v$ は以下の方程式の解として書ける． $$0\cdot x^2+1\cdot x+v=0$$ こうして書かれた $-v$ は $2$ 以上の整数なので，先の議論と同じく任意の正整数および $-1$ 以外の任意の負の整数を書き加えられる．

以上より求める組は $(u,v)\neq (-1,1),(1,-1)$ である．