EGMO 2023
問題 6

$S_b$ と直線 $AB$ の接点，$S_c$ と直線 $AC$ の接点をそれぞれ $T_b,T_c$ とすると $T_b,T_c$ は直線 $S_bS_c$ 上にあるので，$AT_b=AT_c$ が成り立ち，$A$ が $S_b,S_c$ の $2$ 交点を通る直線上にあることが従う．よって直線 $N_aI$ と $\Omega$ の交点のうち $N_a$ でない方を $X$，$S_b,S_c$ の中心をそれぞれ $O_b,O_c$ とすれば，示すべきは $O_bO_c\perp AX$ である．

$\Omega$ の外心を $O$，直線 $AX,S_bS_c$ の交点を $Y$ とし，線分 $OS_b,OS_c$ 上の点 $P,Q$ を四角形 $OPYQ$ が平行四辺形となるようにとる．四角形 $AS_bXS_c$ が調和四角形であることに注意すれば

$$OO_b:OO_c=S_cT_b:S_bT_c=S_cA^2:S_bA^2=S_cY:S_bY=OP:OQ$$

より $O_bO_c\parallel PQ$ である．

また，線分 $AX$ の中点を$M$とすれば

$$\angle S_bPY=\angle S_bOS_c=2\angle S_bXS_c=2\angle S_bMY$$

が成り立つので，$PS_b=PY$ と合わせれば $PY=PM$ が成り立つ．同様に $QY=QM$ なので $AX\perp PQ$ が成り立つ．

以上より $O_bO_c\perp AX$ であり，題意は示された．