MATHEMATICAL OLYMPIAD ARCHIVE

EGMO 2023
問題 4

DIFFICULTY1

PROBLEM WORKSPACE

ヒント

PUBLIC

ヒント 1

$C=\dfrac{1}{2}$ は条件を満たします．

ヒント 2

$C\gt \dfrac{1}{2}$ のとき $\dfrac{1}{2}+\epsilon\lt C$ なる正の実数 $\epsilon$ がとれます．

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$C\gt \dfrac{1}{2}$ のとき， $\dfrac{1}{2}+\epsilon\lt C$ なる正の実数 $\epsilon$ がとれ，

c_{2k-1}=\dfrac{1}{2}+\epsilon,\quad c_{2k}=\dfrac{1}{2}

とすればターボくんは $2$ 回連続で同じ方向に進むと円周全てを通過し，そうでないとき（時計回りと反時計回りを交互に繰り返すとき）も有限回の操作で円周全てを通過するので問題文の条件を満たさない．

一方で $C=\dfrac{1}{2}$ のとき，常に初期位置に向かって進むようにすればターボくんは初期位置の対蹠点を回避して行動し続けることができるので，求める $C$ の最大値は $\dfrac{1}{2}$ である．