MATHEMATICAL OLYMPIAD ARCHIVE

EGMO 2023
問題 1

DIFFICULTY1

PROBLEM WORKSPACE

ヒント

PUBLIC

ヒント 1

$a_i$ の最小値をとりましょう．

略解を表示

$a_m=\min\{a_i\}$ なる $m$ を取ると任意の $1\leq i\leq n$ に対して

\dfrac{a_{i+1}+a_{i-1}}{a_i}=b_i\geq b_m=\dfrac{a_{m+1}+a_{m-1}}{a_m}\geq 2

より $a_{i+1}-a_i\geq a_i-a_{i-1}$ を得る．これより

a_{1}-a_n\geq a_{n}-a_{n-1}\geq \cdots\geq a_{2}-a_1\geq a_1-a_n

が従い，全ての等号が成り立つ必要があるので $a_1=a_2=\cdots =a_n$ である．