EGMO 2022
問題 4

$N\geq n+1$ と仮定する．$a_k+a_{k+1}=b_k$ とすると $b_0=-\dfrac{1}{n}, ~ b_{k-1}b_{k}=b_{k-1}-b_{k}$ より帰納的に $b_{k}=-\dfrac{1}{n-k} ~ (k=1,2,\dots,n-1)$ がわかる．特に $b_{n-1}=-1$ だが，このとき漸化式より $-b_n=-1-b_n$ となり矛盾する．よって $N\leq n$ であり，$N=n$ なる数列 $a_0,a_1,\dots,a_n$ は存在するので $N$ の最大値は $n$．