EGMO 2022
問題 3

良い数列に対して，

$$na_1+(n-1)a_2+\cdots+2a_{n-1}+a_n=b_n^2$$

なる正整数列 $\{b_n\}$ が存在する．このとき，

$$b_{n+2}^2=2b_{n+1}^2-b_{n}^2+a_{n+2}$$

が成り立つので，$b_{n+2}^2$ は $2b_{n+1}^2-b_{n}^2$ より大きい最小の平方数である．ここで $b_n$ は正整数なので $b_k\leq b_{k+1}$ なる $k$ が存在し，この $k$ に対して

$$b_{k+1}^2\leq 2b_{k+1}^2-b_{k}^2\leq (2b_{k+1}-b_k)^2$$

より $0\leq b_{k+2}-b_{k+1}\leq b_{k+1}-b_k$ が成り立つ．すなわち，十分先で $b_{n+1}-b_n$ は定数である．よって十分先で数列 $\{b_n\}$ は等差数列であり，

$$a_{n+2}=b_{n+2}^2-2b_{n+1}^2+b_{n}^2$$

は定数となる．