EGMO 2022
問題 2

$f(1)=f(1)^2$ より $f(1)=1$ であるので，$f$ が定数関数ならば $f(n)=1$ であり，これは条件を満たす．以下，$f$ は定数関数でないとする．このとき，以下を満たす $2$ 以上の整数 $m,c$ が存在する．

$$f(1)=\cdots=f(m-1)=1,\quad f(m)=c$$

$f(m^k)=c^k$ であることに注意せよ．$m$ の倍数でない正整数を小さい順に並べた数列を$m_1,m_2,\dots$ として，任意の正整数$i$に対して $f(m_i)=1$ であることを示す．

$k$ を $m-1$ 以上の整数とし，$f(m_1)=f(m_2)=\cdots=f(m_k)=1$ であると仮定する．$m_{k+1}$ を $m$ で割った商を $q$，余りを $r$ とすると $f(m_{k+1})=f(mq+r)$ は$f(mq)=cf(q)$ または $f(r)=1$ に等しい．ここで$mq-r=m_{i} ~ i\leq k$ なる $i$ が存在するので

$$f(m_{k+1})=f(mq+r)f(mq-r)=f(m^2q^2-r^2)$$

であり，これは $f(m^2q^2)=(cf(q))^2$ または $f(r^2)=1$ と等しい．よって

$$f(m_{k+1})\in (\{cf(q),1\}\cap \{(cf(q))^2,1\})$$

であり，これと $cf(q)\neq 1$ より $f(m_{k+1})=1$ である．よって全ての $i$ に対して $f(m_i)=1$ である．

よって $f(n)=c^{v_m(n)}$ である．$m=l_1l_2$ なる $2$ 以上の整数 $l_1,l_2$ が存在すると仮定すると

$$c=f(l_1l_2)=f(l_1)f(l_2)=1$$

となり矛盾するので $m$ は素数である．以上より求める関数は恒等関数 $f(n)=1$ または $p$ を素数，$c$ を $2$ 以上の整数として $f(n)=c^{v_p(n)}$ と表される．