EGMO 2020
問題 5

$\Gamma$ の中心を $O$ とし，直線 $CP$ と $\Gamma$ の交点のうち $C$ でない方を $M$ とする．このとき四角形 $MOAP$ は一辺 $R$ のひし形なので，$OM\perp DE$ が成り立ち，直線 $CM$ が $\angle DCE$ の二等分線であることが従う．また，$OB=PM$ より四角形 $OMPB$ は等脚台形である．すなわち直線 $DE$ は線分 $OM$ の垂直二等分線でもあるので $MP=MO=MD$ が従う．以上より $P$ は三角形 $CDE$ の内心である．