EGMO 2019
問題 1

$a,b,c$ のいずれかが $0$ であるとき，対称性を失わず $a=0$ とすると $(b,c)=(1,1),(-1,-1)$ を得る．

$a,b,c$ のいずれかも $0$ でないとき，$ab+bc+ca=1,a^2b+c=b^2c+a$ より $a^2+b^2=bc+ca$ を得る．同様の式をあと $2$ つ作って足し合わせれば

より $a=b=c=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ を得る．

以上より求める組は $(0,1,1),(0,-1,-1)$ のいずれかの並べ替えおよび $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right),\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ の $8$ つである．