EGMO 2018
問題 4

均等な配置において置かれたドミノの数を $m$ とすると，各行・列の価値の総和について

$$2nk=3m$$

が成り立つ．特に $n,k$ のいずれかは $3$ の倍数である．

• $n$ が $3$ の倍数であるとき
  $(n,k)=(3,1)$ の構成は可能なのでこれを斜めに並べれば $(n,k)=(3n^\prime,1)$ の構成も可能であり，$k$ の最小値は $1$ である．
• $n$ が $3$ の倍数でないとき
  $(n,k)=(4,3),(5,3),(6,3),(7,3)$ の構成は可能なので，これらを適切に斜めに並べれば $(n,k)=(3n^\prime+1,3),(3n^\prime+2,3)$ の構成も可能であり，$k$ の最小値は $3$ である．