代表選考合宿 2024
問題 10

正整数列 $b_1,b_2,\dots$ であって任意の正整数 $k$ に対して

$$a_{k+1}b_{k+1}=2(a_1+a_2+\cdots+a_k)$$

が成り立つものが取れる．便宜上 $b_1=2$ とすれば $a_{k+1}b_{k+1}=a_k(b_{k}+2)$ が成り立つ．これと $a_k\lt a_{k+1}$ より

$$b_{k+1}\leq b_{k}+1$$

が成り立つ．また，任意の正整数 $n$ に対して $n\lt p-2$ なる素数 $p$ であって，$a_2,a_3\dots$ の中に $p$ の倍数が存在するようなものが存在する．$p\mid a_i$ なる $i\gt 2$ の最小値を $m$ とすれば $p\mid b_{m-1}+2$ が成り立つので，$b_{k+1}\leq b_{k}+1,n\lt p$ と合わせれば次が成り立つ．

• $b_1,b_2,\dots,b_{m-1}$ の中に $2,3,\dots,p-2$ がそれぞれ少なくとも $1$ 回現れる．

特にある整数 $n\lt m$ が存在し，$b_i=n,b_{j}=m,i\lt j$ なる正整数 $i,j$ が存在する．以上より，ある正整数 $k$ が存在して $b_k=n,b_{k+1}=n+1$ が成り立ち，これを等式 $a_{k+1}b_{k+1}=a_k(b_{k}+2)$ に代入すれば

$$(n+1)a_{k+1}=(n+2)a_k$$

が成り立つ．よって $a_{k}$ は $n+1$ の倍数であり，このような $k$ が任意の正整数 $n$ に対して存在するので，題意は示された．