代表選考合宿 2024
問題 1

$c=1,2$ のいずれかに対応する数列は等差数列である．

正の整数列 $a_1,a_2,\dots$ であって，ある整数 $c\geq 3$ が存在して任意の正整数 $n$ に対して $a_{n+c}=2a_{n+1}-a_n$ が成り立つとき，この整数列は定数列であることを示そう．

ある正整数 $i\lt j$ が存在して $a_i\gt a_j$ が成り立つとき，そのような $j$ の最小値を取れば

$$a_{j+c-1}=2a_{j}-a_{j-1}\lt a_j$$

が成り立つ．すなわち $a_i\gt a_j\gt a_{j+c-1}$ が成り立つ．これを繰り返すと $a_1,a_2,\dots$ が正整数列であることに矛盾するので，$a_1,a_2,\dots$ は広義単調増加である．よって

$$a_{n+1}-a_n= a_{n+c}-a_{n+1}\geq (a_{n+3}-a_{n+2})+(a_{n+2}-a_{n+1})$$

なのである $M$ が存在して $a_M,a_{M+1},\dots$ は定数列である．このとき，$a_n=a_{n+1}-a_{n+c}$ より $a_M,a_{M-1},\dots,a_1$ も定数列であることがわかるので，結局数列 $a_i$ は定数列である．

以上より求める数列は等差数列．