代表選考合宿 2023
問題 9

$B,C$ を焦点とし，$H$ を通る双曲線を $\mathcal{C}$ とすると $P$ は $\mathcal{C}$ の $H$ 側の枝を動くので，線分 $AH$ 上にある三角形 $PBC$ の内心を $I$ とすれば $P$ における $\mathcal{C}$ の接線上にもある．

$A$ から $\mathcal{C}$ に引いた接線と $\mathcal{C}$ の接点のうち $H$ でない方を $X$ とする．また，直線 $AP,HX$ の交点を $S$，直線 $AP$ と $\mathcal{C}$ の交点のうち $P$ でない方を $T$，直線 $PX,TH$ の交点を $U$ とする．このとき，六角形 $PPTHHX$ にパスカルの定理を適用することで $S,I,U$ の共線が従う．また，直線 $HX$ が $A$ における極線であることから $(A,S;P,T)=1$ である．したがって直線 $PX,AH$ の交点を $Q^\prime$ とすると $U$ を中心とした直線 $AH$ から直線 $AP$ への射影により

が従う．一方で $(A,I;Q ,H)=1$ より $Q=Q^\prime$ であり，直線 $PQ$ が定点 $X$ を通ることが示された．