代表選考合宿 2023
問題 7

良い数列 $a_1,a_2,\dots,a_{2022}$ に現れる $1$ の数を $n_1$，$-1$ の数を $n_{-1}$ とする．$n_1\geq n_{-1}$ として一般性を失わない．このとき，以下のように数列 $t_1,t_2,\dots,t_k$ を定めれば $a_{t_1},a_{t_2},\dots,a_{t_k}$ に現れる $1$ の数を $n_1$ に，$-1$ の数を $n_{-1}/2$ 以下にできる．

• $t_1$ は $a_{s}=1$ なる $s$ の最小値．
• $a_{t_i+1}=1$ ならば $t_{i+1}=t_i+1$．
• $a_{t_i+1}=-1$ ならば $t_{i+1}=t_i+2$．

このとき

$$\sum_ia_{t_i}\geq n_1-\dfrac{n_{-1}}{2}=\dfrac{3n_1-2022}{2}=\dfrac{1011}{2}$$

が成り立ち，特に $\sum_ia_{t_i}= 506$ が実現できる．

$$(a_1,a_2,\dots,a_{2022})=(1,1,-1,-1,1,1,\dots,-1,-1,1,-1)$$

のとき，どのように $t_i$ を定めても $\sum_ia_{t_i}\leq 506$ となるので，$C\leq 506$ である．以上より求める $C$ の最大値は $506$．