代表選考合宿 2022
問題 10

$n=1,3$ 以外に条件を満たす正整数 $n$ が存在すると仮定して矛盾を示そう．

まず，平方数に $1,2$ を足した整数は平方数となり得ないので $a_1=1$ であり，$n$ は奇数である．また，ある正整数 $m\lt d(n)$ が存在して，以下が成り立つ．

• $1,3,\dots,2m-1$ は $n$ の約数であるが，$2m+1$ は $n$ の約数でない．

ある正整数 $k\lt m$ について，$a_1=1,a_2=3,\dots,a_{k}=2k-1$ が成り立つとき，条件より，$a_l=2k+1$ なる $l$ に対して

$$k^2+a_{k+1}+\dots+a_l=(k+\alpha)^2+2k+1=(k+\beta)^2$$

なる整数 $0\leq\alpha\leq \beta$ が存在するが，右の等号が成り立つためには $\alpha=0,\quad \beta=1,l=k+1$ が必要である．すなわち，以下が成り立つ．

$$a_1=1,\quad a_2=3,\quad \dots,\quad a_m=2m-1$$

このとき，ある奇数 $\gamma\geq 3$ が存在して

$$m^2+a_{m+1}=(m+\gamma)^2$$

より $a_{m+1}=\gamma(2m+\gamma)$ が成り立つ．よって $a_{l}=2m+\gamma$ なる整数 $l\geq m+2$ とある整数 $\alpha\geq \gamma$ が存在し，

$$(m+\alpha)^2+2m+\gamma\geq (m+\alpha+1)^2$$

が成り立つが，これより $\alpha\geq \gamma\geq 2\alpha+1$ が従い，矛盾する．

以上より求める $n$ は $1,3$ のみである．