代表選考合宿 2019
問題 8

三角形 $ABC$ の外接円の式を $|z|=1$ とする複素座標 $A(a),B(b),C(c)$ を考える．$K$ に関して $B,C$ と対称な点をそれぞれ $B^\prime,C^\prime$ とするとある複素数 $k$ が存在して

$$B^\prime(c+k),\quad C^\prime(b+k),\quad K\left(\dfrac{b+c+k}{2}\right)$$

と表せる．$AB\perp B^\prime D,AC\perp C^\prime E$ より

$$D\left(\dfrac{a+b+c-\frac{ab}{c}+k-ab\overline{k}}{2}\right),\quad E\left(\dfrac{a+b+c-\frac{ac}{b}+k-ac\overline{k}}{2}\right)$$

と計算できる．示すべきは直線 $AO,DE$ のなす角と直線 $OK,BC$ のなす角が符号付きで等しいことであり，これは以下が実数であることから示される．

$$\dfrac{\frac{a+b+c-\frac{ab}{c}+k-ab\overline{k}}{2}-\frac{a+b+c-\frac{ac}{b}+k-ac\overline{k}}{2}}{a}\times\dfrac{\frac{b+c+k}{2}}{b-c}=-\dfrac{1}{4}(b+c+k)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\overline{k}\right)$$