代表選考合宿 2019
問題 4

$a=\dfrac{1}{f(1)^2}$ とすると，$x=a,y=1$ を考えることで $f(a)=1$ を得る．与式に $y=a$ を代入して $f(x^2)=f(x)^2$ がわかるので，$x$ を $xf(y)$ として与式を用いることで

を得る．よって任意の有理数 $x$ に対して $f(x)=g_1(x)^2$ なる関数 $g_1:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ が存在する．この議論を繰り返すことで，任意の正整数 $n$ に対して $f(x)=g_n(x)^{2^n}$ なる関数 $g_n:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ の存在がいえるので，$f(x)=1$ が必要であり，これは十分条件でもある．以上より求める関数は $f(x)=1$ のみ．