代表選考合宿 2017
問題 7

$k\leq 4$ のとき $(n^2+2)^2\lt n^4+10n^2+2^k\lt (n^2+5)^2$ より

が成り立つ必要がある．実際に調べると $(n,k)=(2,3)$．

$k\geq 5$ のとき，ある正整数 $a$ が存在して $n^4+10n^2+2^k=(n^2+5+a)^2$ が成り立ち，これを変形すると

左辺は偶数なので $a$ は奇数である必要があるが，このとき右辺の $2$ 項は $2$ で割り切れる回数の偶奇が異なり，和が $2$ べきとなることはないので解は存在しない．

以上より求める解は $(2,3)$ のみである．