問題一覧/代表選考合宿 2016/PROBLEM 7MATHEMATICAL OLYMPIAD ARCHIVE代表選考合宿 2016問題 7DIFFICULTY3PROBLEM WORKSPACEヒントPUBLICヒント 1＋a0=a1=1,ak=2k−1a_0=a_1=1,a_k=2^{k-1}a0=a1=1,ak=2k−1 のときが怪しいです．ヒント 2＋Cauchy–Schwarzの不等式，特にヒント1のときが等号条件となるようなものを考えましょう．略解略解を表示＋a0=a1=1,al=2l−1a_0=a_1=1,a_l=2^{l-1}a0=a1=1,al=2l−1 とすることで k≥13k\geq \dfrac{1}{3}k≥31 がわかる．一方でCauchy–Schwarzの不等式から成り立つ式1a0+a1+⋯+am≤4−ma0+4−ma1+4−m+1a2+4−m+2a3+⋯+4−1am\dfrac{1}{a_0+a_1+\cdots+a_m}\leq \dfrac{4^{-m}}{a_0}+\dfrac{4^{-m}}{a_1}+\dfrac{4^{-m+1}}{a_2}+\dfrac{4^{-m+2}}{a_3}+\cdots+\dfrac{4^{-1}}{a_m}a0+a1+⋯+am1≤a04−m+a14−m+a24−m+1+a34−m+2+⋯+am4−1を k=1,2,…,nk=1,2,\dots,nk=1,2,…,n について足し合わせることで1a0+a1+1a0+a1+a2+⋯+1a0+a1+⋯+an<13(1a0+1a1+⋯+1an)\dfrac{1}{a_0+a_1}+\dfrac{1}{a_0+a_1+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_0+a_1+\cdots+a_n}\lt \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a_0}+\dfrac{1}{a_1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\right)a0+a11+a0+a1+a21+⋯+a0+a1+⋯+an1<31(a01+a11+⋯+an1)が示される．よって求める最小値は 13\dfrac{1}{3}31．← 問題一覧に戻る
