代表選考合宿 2016
問題 4

$x_k=\dfrac{m-n}{n+k}+1$ より $m-n$ は $n+1,n+2,\dots,2n+1$ で割り切れる正整数である．$2^i\leq n\lt 2^{i+1}$ なる整数 $i$ をとると $n\lt 2^{i+1}\lt 2n+1$ が成り立つので，整数 $1\leq a\leq n$ であって，$n+a=2^{i+1}$ なるものが存在し，それ以外の整数 $1\leq b\leq n+1$ について $n+b$ が $2$ で割り切れる回数は $i$ 以下である．よって $v_2(m-n)=M$ とすると $M\geq i+1$ であり，以下が成り立つ．

$$x_a\equiv 1\pmod{2^{M-i}},\quad x_b\equiv 2^{M-i-1}\pmod{2^{M-i}} ~ (b\neq a)$$

よって $x_1x_2\dots x_{n+1}-1\equiv 2^{M-i-1}\pmod{2^{M-i}}$ であり，これと $x_1x_2\dots x_{n+1}-1\gt 2^{M-i}$ を合わせれば $x_1x_2\dots x_{n+1}-1$ が $2$ べきでないことが従う．